GeoGebra ve GeoGebra ile Matematik Öğretimi

1.2 Neden GeoGebra? 
Son yıllarda ücretsiz açık kaynak kodlu (Free Open Source Software – FOSS) yazılımların eğitim alanında da çözümler ürettiği ve bu doğrultuda çeşitli isteklerin oluştuğu gözlemlenmektedir. Açık kaynak kodlu bir dinamik matematik yazılımı olan GeoGebra, sembolik hesaplama kabiliyeti olan Bilgisayar Cebiri Sistemlerinin (BCS) görselleştirme ve sembolik hesaplama yetenekleri ile Dinamik Geometri Sistemlerinin (DGS) değişebilirlik ve kullanım kolaylığı yeteneklerini birleştirmektedir. Böylece geometri, cebir hatta analiz matematiksel disiplinleri arasında bir köprü görevi görmektedir    (Hohenwarter ve Jones, 2007; Preiner, 2008). GeoGebra noktalar, doğru parçaları, doğrular, konik kesitleri ve benzeri matematiksel kavramlar üzerine çalıştığı için bir yönüyle DGS olarak ele alınabilir. Diğer yönüyle ise noktaların, koordinatların, denklemlerin, fonksiyonların direkt olarak girilebilme, cebirsel olarak tanımlanabilme ve dinamik olarak değiştirilebilme yönleriyle bir BCS olarak ele alınabilir. GeoGebra bu özelliğiyle arka planında sayılar, vektörler ve noktalar için değişkenlerle uğraşan, fonksiyonların türev ve integrallerini bulabilen ve Asimptot, Alan, Tepe Noktası gibi matematiksel komutlar içeren sade bir bilgisayar cebiri sistemidir. GeoGebra’nın en temel özelliği bir yönden BCS diğer bir yönden ise DGS olarak ele alınabilmesidir.    GeoGebra matematik eğitimindeki potansiyeli ve kabiliyetleri ile okul müfredatında geometri ve cebir arasındaki ilişkiyi kurmakta önemli bir değer olarak ortaya çıkmaktadır (Hohenwarter ve Jones, 2007). GeoGebra yazılımını benzerlerine göre bir adım daha öne çıkaran özellikleri aşağıdaki gibi sayılabilir.

 • Ücretsizdir.

GeoGebra, özellikle Avrupa ve Kuzey Amerika’da başta olmak üzere popülaritesi sürekli olarak artmakta olan açık kaynak kodlu bir dinamik matematik yazılımıdır. Markus Hohenwarter tarafından Salzburg Üniversitesi’nde bir master tezi projesi olarak tasarlanmıştır. Geometri, cebir ve analizi tek, kullanımı kolay bir pakette birleştirerek bir dinamik yazılım oluşturma düşüncesi Hohenwarter’in yazılımı geliştirilmesindeki temel fikri oluşturmuştur. Yazılım 2002 yılında internette yayınlandıktan sonra umulmadık bir biçimde yaygınlaşmış, birçok öğretmen Hohenwarter’le iletişime geçerek sınıflarında GeoGebra kullanımına yönelik isteklerini paylaşmışlardır (Hohenwarter ve Lavicza, 2007). Tamamen akademik amaçlar doğrultusunda tasarlanan yazılım açık kaynak kodlu olarak gelişmeye devam etmekte ve bütün dünyada ücretsiz kullanılma özelliğini devam ettirmektedir.

• Çok yönlüdür.

Geogebra Cebir penceresi ve Geometri penceresi olmak üzere iki temel bölümden oluşur. Bu da kavramların çoklu temsillerini ortaya çıkarma fırsatı verir. Cebirsel olarak yazılan matematiksel komutların geometrik karşılığını gözlemlemenin yanında dinamik olarak “sürükleme” teknolojisi ile değiştirilebilen geometrik nesnelerin cebirsel karşılığını da gözlemlemek mümkündür.

• Türkçe olarak kullanılabilir.

 GeoGebra, tamamen gönüllük esasına göre 40’ın üzerinde dile çevrilmiştir. Bu diller arasında Türkçe de bulunmaktadır. GeoGebra’yı dilimize matematik eğitimcileri Mustafa DOĞAN, Erol KARAKIRIK ve Süleyman CENGİZ çevirmiştir. Bu özellikleri ile GeoGebra, ülkemiz eğitim sistemi içinde yoğun ve yaygın olarak yararlanılabilme potansiyeline sahiptir.

1.3 Uluslar arası GeoGebra Topluluğu ve Türkiye’de GeoGebra

GeoGebra’nın kullanımı için öğretmen ve araştırmacılara ücretsiz olarak destek sağlamak, GeoGebra’nın teknik gelişiminde süreklilik sağlamak, GeoGebra’yı taban alan araştırmalar arasındaki koordinasyonu sağlamak amacı ile Uluslararası GeoGebra Enstitüsü (UGE) kurulmuştur. 07‐08 Mayıs 2008 tarihlerinde Cambridge Universitesi Eğitim Fakültesinde Uluslararası GeoGebra Ensitüsü (UGE)’nün ilk toplantısı gerçekleştirilmiş  ve bu toplantıda enstitünün vizyonu, yapısı, amaçları ve yerel GeoGebra Enstitüleri (YGE)’nin amaçları tartışılmıştır. UGE’nün amacı, konuma bakılmaksızın matematik öğrenme ve öğretmeyi aşağıdaki aktivitelerin koordinasyonu ve desteklenmesiyle arttırmaktır (Hohenwarter, Lavicza, 2007).   
1. Ticari bir kaygı taşımadan öğretmenler ve öğrenciler için ücretsiz yazılım sunmak. 
2. GeoGebra’nın kapasitesini ve kolay kullanımını öğretmen ve araştırmacılardan gelen dönütleri taban alarak arttırmak.
 3. Öğretim materyalleri, profesyonel gelişim ve ücretsiz çalıştaylar sunmak. 
4. UGE, konferanslar ve yerel okullarda GeoGebra ile ilgili aktiviteler içinde bulunmayı arzulayan öğretmenlere eğitim ve destek için bir organizasyon geliştirmek. 
5. GeoGebra’yla ilgili araştırma projeleri düzenlemek, desteklemek ve GeoGebra’nın herhangi bir yönüne katkı sağlamayı amaçlayan araştırmacılar arasındaki ağı büyütmek. UGE’sü Türkiye’de anlaşıldığı  şekilde bir enstitü olmaktan çok bir çalışma topluluğu olarak düşünülebilir. UGE’nin web sitesi bu projenin merkezidir (www.geogebra.org/IGI). 
 Bu sitede enstitü hakkında bilgilere, UGE çalışanlarına ve UGE aktivitelerine yer verilmektedir. Uluslararası Geogebra Enstitüsü’ne bağlı olma kaydı ile farklı ülkelerde farklı yerel GeoGeba Enstitüleri (yGE) de kurulmuştur. Bu çalışmanın yazım tarihi itibari ile Arjantin, Avusturya, Brezilya, Kanada, Danimarka, Macaristan,  İran, Makedonya, Hollanda, Norveç, Polonya, Portekiz, Romanya, Slovakya, Güney Afrika,  İspanya, Türkiye,  İngiltere ve Amerika’de yGE kurulmuştur. yGE’lerinin adresleri UGE’nin ana sayfasında belirtilmiştir. Türkiye’de Ankara GeoGebra Enstitüsü ve İstanbul GeoCebir Enstitüsü olmak üzere iki yerel GeoGebra enstitüsü kurulmuştur. Ankara GeoGebra Enstitüsü’ne, www.ankarageogebra.org adresinden, İstanbul GeoCebir Enstitüsü’ne ise www.geocebir.org adresinden ulaşılabilir. Türkiye’deki GeoGebra enstitülerinden biri olan Ankara GeoGebra Enstitü’sü amaçlarını; “Ankara GeoGebra Enstitüsü yoluyla ilköğretim, ortaöğretim ve yükseköğretim öğrenci ve öğretmenlerine öğretim ortamlarında kullanılmak üzere Türkçe öğretim materyalleri, profesyonel gelişim ve ücretsiz çalıştaylar sunulması amaçlanmaktadır. Bu Enstitü, GeoGebra ve GeoGebra’nın matematik eğitimine olan etkileri üzerine yapılacak olan çalışmalarda etkin bir rol oynayacak ve araştırmacılar arasındaki iletişimi sağlayacak bir yapı oluşturulacaktır.”   

2. GeoGebra’yı Kullanmaya Hazırlık 

2.1 GeoGebra’ya Ulaşma  

 GeoGebra, Geometri ile Cebiri keşfetmek ve görselleştirmek için kullanılan bir dinamik matematik yazılımıdır. Diğer benzer dinamik geometri yazılımlarından (The Geometer’s Sketchpad, Cabri, vd.) farkı açık kaynak kodlu ve ücretsiz olarak erişilebilen bir yazılım olmasıdır. Windows, Mac OS X, Linux ve diğer java tabanlı platformlarda kullanımı için sürümleri mevcuttur.    GeoGebra’ya http://www.geogebra.org web sayfasının menüsünde yer alan Webstart veya  İndir menüsünden ulaşabilirsiniz. Webstart seçeneği bilgisayarınız gerekli olan java dosyalarını da indirerek yazılımı hemen kullanmanıza imkân sağlar. Bir diğer avantajı ise yazılım ile ilgili güncellemeleri otomatik olarak bulup kurar.  İndir seçeneği ise yazılımın kurulum dosyasını bilgisayarınıza indirme imkânı verir. Yazılımı internet bağlantısı olmadan da bilgisayarınızda kullanmaya devam edebilirsiniz.

   2.2 Yazılımı Kurma 

Yazılımın kurulumu oldukça kolaydır. Windows veya diğer işletim sistemlerini kullandığınız bilgisayara yazılımın kurulum dosyasını indirdikten sonra çift tıklayınız. Kurulum penceresi sizi yönlendirerek yazılımı kurmanıza yardımcı olacaktır. Kurulum için tipik seçeneğini seçmeniz yeterli olacaktır.

 2.2.1 Kurulum İçin Gerekli Dosyalar 

GeoGebra bir Java uygulamasıdır. Bilgisayarınızda Java’nın en azından 1.4.2 sürümünün yüklü olması gerekmektedir.  İşletim sisteminiz Windows veya Linux ise Sun’ın Java sitesine http://www.java.com/tr/download/index.jsp adresinden ulaşabilirsiniz. Mac kullanıyorsanız Apple’ın  http://developer.apple.com/java/ sitesinden ulaşabilirsiniz. 

2.2.2 GeoGebra’yı Çalıştırma

 GeoGebra’yı çalıştırmak için kurulum sonrası masaüstünde oluşan GeoGebra ikonuna çift tıklayarak yazılımı çalıştırabilirsiniz.

3. GeoGebra’ya Giriş  

Dinamik Matematik yazılımı olan GeoGebra matematiksel nesnelerin üç farklı görünümümü bizlere sunmaktadır: Grafik penceresi, Cebir penceresi ve Hesap Çizelgesi penceresi.    Bu pencereler bize matematiksel nesneleri üç farklı gösterimde sunmaya imkân sağlar: grafiksel gösterim (örneğin, noktalar, fonksiyon grafikleri), cebirsel gösterim (örneğin, noktaların koordinatları, denklemler) ve hesap çizelgesi hücreleri. GeoGebra’da oluşturulan matematiksel nesnelerin bu üç farklı gösterimleri dinamik olarak birbirine bağlıdırlar yani nesne üzerinde bu üç gösterimden birinde herhangi bir değişiklik yapıldığında nesnenin diğer gösterimlerinde de yapılan değişiklikler aynı anda meydana gelmektedir.

3.1 Geometrik İnşalar 

Araç çubuğundaki inşa araçlarını kullanarak fare yardımı ile Grafik görünümünde (Eksenler) geometrik inşalar yapabilirsiniz.  İnşa araçlarından herhangi birini seçtiğinizde araç çubuğunun en sağında seçtiğiniz komutu kullanma ile ilgili yardımı bulabilirsiniz. Burada kısaca komutun ismini ve komutu nasıl kullanmanız gerektiği ile ilgili size kısa bir bilgi verilmektedir. Grafik penceresinde oluşturduğunuz herhangi bir nesnenin cebirsel gösterimini Cebir penceresinde görebilirsiniz. Grafik penceresinde oluşturduğunuz nesneleri fare yardımı ile sürükleyerek istediğiniz gibi hareket ettirebilirsiniz. Bu hareket sırasında nesnenin Cebir penceresindeki cebirsel gösterimi de eş zamanlı olarak değişecektir. Araç çubuğundaki her bir ikon benzer inşa araçlarını alt menüsünde bulundurmaktadır. Bu ikonların sağ  alt köşesindeki oklara tıkladığınızda alt menülerdeki araçları görebilirsiniz. Seçtiğiniz araç, araç çubuğunda aktif duruma gelecektir.   İpucu: Alt menüler oluşturulurken inşa araçlarının sonucunda oluşan nesnelerin özellikleri dikkate alınmıştır. Nokta araç çubuğunda ( ikonu) farklı türden noktalar oluşturan araçları bulacaksınız. Dönüşümler araç çubuğunda ( ikonu) geometrik dönüşümleri uygulamanıza imkân verecek araçları bulabileceksiniz.  

 3.2 Cebirsel Giriş ve Komutlar 

GeoGebra’da Giriş alanına direkt olarak cebirsel ifadeler girebilirsiniz. Enter tuşuna basarak cebirsel olarak girdiğiniz ifade Cebir penceresinde oluşturulurken Grafik penceresinde de grafiksel gösterimi otomatik olarak oluşturulur. Örneğin f(x) = x^2  girişi Cebir penceresinde f fonksiyonunu ve Grafik penceresinde fonksiyonun grafiğini size verecektir.   Cebir penceresinde matematiksel nesneler serbest veya bağımlı nesneler olarak düzenlenmektedir. Eğer yeni bir nesneyi var olan diğer nesneleri kullanmadan inşa ederseniz GeoGebra oluşturduğunuz nesneyi serbest nesne olarak sınıflandıracaktır. Eğer oluşturduğunuz yeni nesneyi var olan diğer nesneleri kullanarak inşa ederseniz, oluşturduğunuz nesneyi bağımlı nesne olarak sınıflandıracaktır. 
  İpucu: Cebir penceresindeki bir nesnenin cebirsel gösterimini saklamak isterseniz bu nesneyi yardımcı nesne olarak işaretleyiniz. Cebir penceresinde saklamak istediğiniz nesnenin üzerine gelip sağ tıklayarak (MacOs işletim siteminde Kntrl+tıklama) çıkan menüden özellikleri seçin ve “Yardımcı nesne” kutusunu işaretleyin. Cebir penceresinde nesneler üzerinde değişiklikler yapabilirsiniz: Cebir penceresindeki bir serbest nesnenin üzerine çift tıklamadan önce Taşı aracını aktif hale getirmeyi unutmayınız. Cebir penceresinde nesnenin cebirsel gösterimine çift tıklayarak cebirsel gösteriminde gerekli değişiklikleri klavyeden yapabilirsiniz. Değişikliği yaptıktan sonra enter tuşuna bastığınızda Grafik penceresinde de nesnedeki değişiklikler eş  zamanlı olarak GeoGebra tarafından uygulanacaktır. Eğer Cebir penceresindeki bağımlı nesnede değişiklik yapacak olursanız nesneyi yeniden tanımlamanıza yardım olacak bir diyalog penceresi açılacaktır. Aynı zamanda GeoGebra Giriş  alanından girilebilecek birçok komutu da sahiptir. Giriş  alanının en sağında yer alan “Komut” butonuna tıkladığınızda komutların listesine ulaşabilirsiniz. Bu listedeki bir komutu seçtiğinizde (veya komutu biliyorsanız kendiniz Giriş  alanına direkt yazdığınızda) F1 tuşuna basarak seçtiğiniz komutun nasıl kullanıldığına dair yardım alabilirsiniz.

3.3 Hesap Çizelgesi Girişleri   

GeoGebra’nın Hesap Çizelgesi görünümünde çalışmak istediğiniz hücredeki veriyi kullanmanıza yardımcı olmak amacıyla her hücrenin belirli bir kodu vardır. Örneğin A sütunu ve satır 1 deki hücrenin kodu A1 dir.  
 İpucu: Bu hücre isimlerini ifadeler ve komutlar içinde kullanarak karşılık gelen hücredeki verileri kullanabilirsiniz. Hesap çizelgesindeki hücrelere sayılar haricinde GeoGebra tarafından desteklenen bütün matematiksel ifadeleri (örneğin, noktaların koordinatları, fonksiyon, komutlar) girebilirsiniz. Hesap Çizelgesinin hücrelerine girdiğiniz nesnenin grafiksel gösterimini GeoGebra hemen Grafik penceresinde gösterecektir. Grafik penceresindeki gösterimde nesnenin ismi hücre kodu ile gösterilmektedir (Aşağıdaki örnekte A1 hücresine girilen koordinat bilgileri Grafik penceresinde A1 noktası olarak gösterilmektedir).

Not: Hesap Çizelgesindeki nesneler Cebir penceresinde yardımcı nesneler olarak   sınıflandırılmaktadır.  Bu yardımcı nesneleri için Görünüm menüsündeki “Yardımcı nesneler” i seçerek gösterebilir veya saklayabilirsiniz.

3.4 Kullanıcı Arayüzünü ve Araç Çubuğunu Özelleştirme 

GeoGebra’nın kullanıcı arayüzünü Görünüm menüsünden tercihlerinize özelleştirebilirsiniz. Örneğin, arayüzün farklı kısımlarını Görünüm menüsünde karşılık gelen menü bileşeninin karşısındaki işareti kaldırarak gizleyebilirsiniz (örneğin, Cebir penceresini). Araç çubuğunu Araçlar menüsündeki “Araç çubuğunu özelleştir”i seçerek özelleştirebilirsiniz. Açılan pencerenin sol tarafındaki bölümde yer alan araç kutusu/araçlardan çıkarmak istediklerinizi seçerek “Kaldır” düğmesi ile araç çubuğundan kaldırabilirsiniz. Araç çubuğunu eski haline döndürmek istediğinizde açılan pencerenin sol alt köşesinde yer alan “Araç çubuğunu eski haline döndür” düğmesine tıklayabilirsiniz.
  

3.5 GeoGebra’nın Araç Çubuklarını Tanıyalım 

3.5.1 Taşı 
• Bu aracın alt menüsünde yer alan ilk düğme daha önceden çizdiğiniz nesneyi seçmenize ve çizim alanı içerisinde hareket ettirmenize yardımcı olur.   
• İkinci düğme ise çizim alanındaki bir noktayı dönme merkezi olarak seçmenize ve çizim alanındaki herhangi bir nesneyi bu nokta etrafında döndürmenize yardımcı olur.  
 • Son düğme ise çizim alanındaki herhangi bir nesneyi seçip bu nesnenin koordinatlarını Hesap Çizelgesi penceresinde gösterir (Menüde yer alan Görünüm menüsünden Hesap Çizelgesini aktif hale getirmeniz gerekmektedir.). Nesneyi daha sonra Taşı düğmesi ile taşıyıp tekrar bu düğmeye tıklayarak yeni koordinatları Hesap Çizelgesine aktarabilirsiniz. 

3.5.2 Yeni Nokta
 Sonraki aracın alt menüsünde yer alan üç düğme farklı türde noktalar inşa etmede kullanılır.   
• İlk düğme çizim alanında herhangi yere bir nokta yerleştirmenize imkân sağlar.   
• İkinci düğme ise çizim alanındaki iki eğriyi seçerek bu iki eğrinin kesim noktalarını işaretlemenize yardımcı olur. 
  • Üçüncü düğme bir doğru parçasının orta noktasını bulmanıza yardımcı olur. Bunun için doğru parçasını veya doğru parçasının uç noktalarını seçmeniz yeterlidir.

3.5.3 İki Noktadan Geçen Doğru
 • Bu aracın alt menüsünde altı farklı düğme vardır. Bunlar değişik türde doğrular ve vektörler çizmeye yardımcı olurlar.  
 • İlk düğme seçilen iki doğrudan geçen sonsuz bir doğru çizmer.  
 • İkinci düğme seçilen iki nokta arasında bir doğru parçası çizer.   
• Üçüncü düğme belirli bir noktadan başlayan verilen bir uzunluktaki bir doğru parçasını çizer.  
 • Dördüncü düğme iki noktadan geçen ışını çizer. 
  • Beşinci düğme iki nokta arasında bir  vektör çizer. 
• Altıncı düğme çizim alanında verilen bir vektöre dışındaki bir noktadan geçen bu vektöre paralel olan vektörü oluşturur.

3.5.4 Dik doğru 
• Dik doğru aracında altı düğme yer almaktadır. Bu düğmeler yardımı ile belirli doğru tipleri çizmenize yardımcı olur.   
• İlk düğme verilen bir doğruya dik bir doğru çizmeye imkan verir. 
• İkinci düğme daha önceden inşa edilmiş bir doğruya dışındaki bir noktadan geçen paralel bir doğru çizer.
 • Üçüncü düğme, Kenar Ortay, bir doğru parçasını ortalayan doğruyu çizer.
 • Dördüncü düğme daha önceden inşa edilen bir açının açıortayını çizer. 
• Beşinci düğme bir çembere, bir koniğe veya daha önceden tanımlanmış bir fonksiyonun eğrisine teğet doğrusunu çizer.   • Altıncı düğme ise kutupsal veya çapsal doğru çizer. 
• Yedinci düğme verilen noktalara en iyi yaklaştırma doğrusunu çizer. 
• Son düğme ise daha önceden yer alan bir A noktasına bağımlı olarak oluşturulan B noktasının A noktasına göre konumunu belirtir. Düğmeye tıkladıktan sonra ilkönce B noktasını daha sonra A noktasını seçerek B noktasının A noktasına göre konumunu belirleyebilirsiniz.

3.5.5 Çokgen 
• Bu menüdeki ilk araç kapalı bir çokgeni çizmenize yardımcı olur. 
• İkinci düğme ise düzgün çokgen çizer. Bunun için ilk önce düzgün çokgenin kenar uzunluğunu belirten iki köşe noktasını işaretlemeniz gerekir, daha sonra açılan pencerede çokgenin kaç kenarlı olduğunu belirtilir.

3.5.6 Merkez ve bir noktadan geçen çember 

• Bu menüde yer alan düğmeler çember, yay, çembersel dilim ve konik çizmek için kullanılıyor  
 • İlk düğme ile verilen bir noktayı veya boşluğa tıklayarak elde edilen bir noktayı merkez kabul eden bir çemberi çizmeye yarar. 
• İkinci düğme merkez ve yarıçap girilerek çember çizmeye yardımcı olur. Merkez olarak kabul edilen bir noktayı seçtikten sonra açılan pencerede çemberin yarçapı girilerek çember elde edilir.
 • Üçüncü düğme seçilen üç noktadan geçen çemberi inşa eder.
 • Dördüncü düğme iki noktadan geçen yarım çemberi çizmeye yardımcı olur. Bunun için çapın uzunluğunu belirtmek için iki farklı nokta seçerek yarım çemberi elde edersiniz. 
• Beşinci düğme merkez ve iki noktadan geçen çembersel yayı çizer.  İlk önce çemberin merkezi olacak nokta inşa edilir. Daha sonra yayın ilk noktası oluşturulur. Eğer fareyi saat yönünün tersinde hareket ettirirseniz çembersel yayın inşa edileceğini göreceksiniz. Tekrar tıkladığınızda yay tamamlanacaktır.
 • Altıncı düğme herhengi üç noktadan geçen çembersel yayı çizer. Bunun için üç farklı nokta belirlenir ve bu noktalardan geçen çembersel yay elde edilir. 
• Yedinci ve sekizinci düğmeler beşinci ve altıncı düğmelerdeki işlevleri çembersel dilimler için yapar.

3.5.7 Elips 
• Bu düğmedeki ilk üç düğme işaretlenecek noktalardan geçen sırası ile elips, hiperbol ve parabol oluşturmaya yardımcı olur.
 • Son düğme ise seçeceğiniz beş noktadan geçen koniği inşa eder.

3.5.8 Açı 
• Bu araçta yer alan düğmeler genelde ölçme ile ilgilidir.   • İlk düğme üç nokta arasındaki açıyı inşa etme ve ölçüsünü belirlemeye yarar.
 • İkinci düğme verilen bir ölçüdeki açıyı çizer. Bu düğmeye ilk tıkladığınızda açının bir noktasını, ikinci tıklamanızda açının köşe noktasını oluşturur ve bir pencere açılarak sizden açı ölçüsünü ister.   
• Üçüncü düğmenin birçok fonksiyonu vardır. Daha önceden verilen iki noktayı seçerek bu iki nokta arasındaki uzaklığı ölçebilirsiniz. Bir doğru parçasının uzunluğunu ölçebilirsiniz.   
• Dördüncü düğme bir çokgen, çember veya koniğin alanını ölçer. 
• Beşinci düğme ise seçilen bir doğrunun veya doğru parçasının eğimini belirler.

3.5.9 Nesneyi doğruda yansıt
• Bu araçta yer alan düğmeler geometrik dönüşümler ile ilgilidir. 
• İlk düğme nesneyi doğruya göre yansıtır. Bunun için simetri doğrusunu ve nesneyi seçmeniz yeterlidir. 
• İkinci düğme ise ilk düğmenin yaptığı işlemi nokta için yapar. 
• Sonraki düğme seçilen bir nesnenin çembere göre simetriğini alır.
 • Dördüncü düğme dönme merkezi olarak bir noktayı ve nesneyi seçtikten sonra açılan pencerede döndürme açısını sizden ister. Ölçüyü girdikten sonra seçilen nokta etrafında verilen ölçüde nesneyi döndürür. Döndürürken aksini belirtmedikçe saat yönünün tersinde döndürme yapılmaktadır. • Beşinci düğme ise nesneyi verilen bir vektör boyunca öteler.
 • Son düğme ise verilen bir nesneyi seçtikten sonra, genişletme için referans alınacak merkez nokta ve daha sonra açılan pencerede genişletme oranını sizden ister.

3.5.10 Sürgü 
• Sürgü isimli düğme dinamik çalışma sayfalarında değiştirilebilir değişkenleri inşa etmek için kullanılır. 
• İkinci düğme grafik penceresinde gösterilmesini istemediğiniz nesneleri saklayıp göstermek için kullanılır.
 • Metin ekle düğmesi grafik penceresinde herhangi bir yere metin eklemek için kullanılır. Bu düğmeyi seçtikten sonra grafik penceresinde bir yere tıkladığınızda metin kutusu açılacaktır. Bu pencerede Yunan alfabesindeki harfleri eklemeniz için α işareti içeren bir seçenek sunar. 
• Resim ekle düğmesi çalışma sayfasına resim eklemenize yardımcı olur. Bu düğmeyi seçtikten sonra grafik penceresinde bir yere tıkladığınızda bir pencere açılacaktır. Açılan pencereden eklemek istediğiniz resmi bularak Grafik penceresine taşıyabilirsiniz. 
• Son düğme ise seçilen iki nesne arasındaki ilişkiyi nesneleri seçtikten sonra açılan pencerede gösterir.

3.5.11 Çizim tahtasını taşı 
• İlk düğme çizim tahtasını taşımınıza yardımcı olur.
 • İkinci ve üçüncü düğme çiziminizi büyütme ve küçültme imkânı verir. 
• Dördüncü düğme Grafik penceresindeki nesneleri saklayıp gösterebilirsiniz. Düğmeyi seçtikten sonra gizlemek istediğiniz nesneyi seçerek başka bir düğmeye tıkladığınızda seçtiğiniz nesne gizlenecektir. Tekrar bu düğmeye bastığınızda nesneyi göstermesini sağlayabilirsiniz. 
• Beşinci düğme daha önceden oluşturduğunuz bir nesnede biçimsel olarak yaptığınız değişikliklerin aynısını daha sonra oluşturduğunuz yeni nesneye uygulamanıza yardımcı olur.

4. ETKİNLİK ÖRNEKLERİ  

Aşağıdaki etkinlikler, GeoGebra’nın çeşitli kullanım özellikleri aşamalı olarak bünyesinde barındıracak  şekilde sıralanmaya çalışılmıştır. Etkinlikler sırasında GeoGebra’nın teknik özellikleri yanında üretilen etkinliğin matematik eğitimi yönünden analiz edilmesi de dikkate alınmıştır. Etkinlikle çalışma sayfası formatında hazırlanmıştır. Boş  bırakılan yerleri doldurabilir ya da sadece arkadaşlarınızla tartışma ile yetinebilirsiniz. 

4.1 Çemberde Açı ve Uzunluklar 

GeoGebra programını açınız. 

• Üstteki araçlar menüsünden “ merkez ve bir noktadan geçen çember” seçeneğini seçerek bir Çember oluşturunuz. A merkezli ve B noktasından geçen bir çemberiniz olacak.

Bu etkinlikte sol taraftaki cebir penceresinden ve çizim tahtasındaki koordinat eksenlerinden yararlanmayacağımız için cebir penceresini kapatalım. Çizim tahtasının üzerinde sağ  tuşa tıklayarak “eksenler” seçeneğindeki onay işaretini kaldıralım. Bu sayede daha yalın bir pencere elde etmiş olacaksınız.

B noktası ile çemberin merkezini birleştiren bir doğru parçası çiziniz. Bunu, araçlar menüsünden “ doğru parçası” seçeneğini seçtikten sonra B ve A noktalarını tıklayarak yapabilirsiniz. • Şimdi, “ dik doğru” seçeneğini seçip çemberin üzerindeki B noktasını ve oluşturduğunuz doğru parçasını tıklayarak doğru parçasına dik bir doğru oluşturun.

B noktasını sürükleyebilirsiniz. Bu dinamik ortamdan öğrencilerinizin nasıl yararlanabileceğini ve öğrencileriniz neleri gözlemlemeleri gerektiğini yazınız.

__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

• Arzu ederseniz, araçlar menüsünden “ açı” seçeneğini tıklayıp BA doğru parçası ve sonradan elde ettiğiniz doğruyu seçerek ikisi arasındaki açının ölçüsünü görüntüleyebilirsiniz.

• Yeni bir pencere açınız. Önceki etkinlikte yaptığınız gibi bir çember oluşturunuz. Bilgisayarınızın isimlendirmesine göre değişebilen A merkezli ve B noktasından geçen bir çember olacaktır. 
• Çemberi 2 noktadan kesen bir CD doğru parçası çiziniz.
 • Çember ile doğru parçasının kesişme noktalarını belirleyiniz. Bunun için araçlar menüsünden “ iki nesnenin kesişimi” seçeneğini seçip çember ve doğru parçasını arka arkaya seçmeniz yeterlidir. GeoGebra otomatik olarak kesişim noktalarını koyacaktır. Örneğimizde E ve F noktaları.

Elde ettiğiniz  şekilde, CD doğru parçasını sürüklemeniz öğrencilerinize neleri keşfetmelerine sebep olur? Yazınız; __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

 • E ve F noktaları arası uzaklığı ölçüp aynı etkinliği tekrarlayabilirsiniz. (“ uzunluk veya uzaklık” seçeneğini seçip sırayla E ve F noktalarını tıklayınız).

Yeni bir sayfa açınız ve aşağıdaki şekli GeoGebra ortamında oluşturunuz.

• Eğer  şekli doğru oluşturduysanız, çember üzerindeki noktaları hareket ettirebilmelisiniz. Bu noktaları hareket ettirebilmek öğrencilerinizin neleri keşfetmesine imkân tanır? Yazınız. __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

• Bu  şekli daha görsel hale getirmek ve öğrencilerinizin denemelerini kontrol etmelerine fırsat vermek için GeoGebra’dan nasıl faydalanabilirsiniz? Grubunuzla tartışıp çalışmanızı tamamlayınız.

4.2 Parabolün denklemi ile eğrisi arasındaki ilişki 
Bu çalışmada, Denklemi  şeklinde tanımlanan eğrinin a, b, c katsayılarına göre nasıl değiştiğini irdeleyeceğiz.   2 y a = + x bx + c 
• Öncelikle a, b ve c isimli serbest değişkenler oluşturalım. 
Bu nesneye GeoGebra’da sürgü adı verilir. GeoGebra’da sürgü oluşturmanın farklı yöntemleri vardır. En pratik yöntem aşağıda verilmiştir. o Giriş  çubuğuna a=1 yazın ve “Enter” tuşuna basın. Verdiğiniz değer oluşturduğunuz değişken için bir başlangıç değeri olacak ve bu değer varsayılan olarak  ‐5 ile 5 arasında değiştirilebilecektir. Aynı  şekilde b ve c değişkenlerini de oluşturun. Aşağıdaki gibi bir yapı elde edeceksiniz.

o Sürgülerin çizim alanında görünmesini sağlamak için cebir penceresindeki ilgili değişkenin yanındaki işaretine tıklayınız. Çizim alanında elde ettiğiniz sürgülerin üzerindeki noktaları kaydırarak değişkenleri kontrol edebileceksiniz. • Şimdi giriş  alanı yardımı ile “a*x^2 + b*x + c” cebirsel ifadesini giriniz. Bu yolla GeoGebra daha önce belirlediğiniz a, b ve c değişkenlerini katsayı olarak kullanıp 2 y a = + x bx + c denkleminin temsil ettiği eğriyi çizecektir.

• Yukarıdaki şekilde çizim alanında gördüğünüz mavi eğriye, a, b, c sürgülerine ve cebir penceresindeki mavi renkli f(x) fonksiyonuna dikkat ediniz. Sürgüleri değiştirdikçe hem denklem hem de eğri dinamik olarak değişecektir. 
• Bu uygulama sayesinde parabolün denklemi ve eğrisi arasındaki hangi ilişkileri görselleştirme fırsatı kazandınız. Öğrencilerinize neleri gözlemlemelerini önerirsiniz? Yazınız.

• Diskriminant ile parabol arasındaki ilişkileri incelemeye yönelik bir öneri: o Sürgüler ile oynarken bazen parabolün x eksenini kesmediğini gözlemleyen öğrencilerinize “hangi durumlarda parabolün x‐eksenini kesmeyeceğini” sorunuz. o Parabolün (genel anlamda tüm eğrilerin) x‐eksenini kestiği noktaların eğriyi temsil eden denklemi 0’a eşitleyen denklemin kökleri olduğunu hatırlamalarını (fark etmelerini) sağladıktan sonra sizin eşliğinizde kareye tamamlama gibi yöntemlerle ilgili ikinci derece denklemi çözme için “b2 – 4ac” ifadesinin hesaplanması gerektiğini bulmalarını sağlayınız. o Şimdi “b2 – 4ac” ifadesini giriş alanı yardımı ile GeoGebra’da oluşturduğunuz uygulamaya giriniz. (GeoGebra otomatik olarak bu ifadeyi isimlendirecektir. Siz cebir penceresinde bu ifadeyi sağ klikleme ile seçip adını değiştirebilirsiniz.

o Şimdi öğrenciler sürgüler ile oynarken bir yandan cebir penceresindeki “b2 – 4ac” ifadesini temsil eden deltanın (ya da verdiğiniz isim neyse) değişimini inceleyebilir ve ne zaman kök olacağı (x‐eksenini keseceği) hakkında cebirsel genellemeler yapabilirler. Not: Cebir penceresinde gözlemlenecek cebirsel değişiklikleri çizim alanında da gözlemlenebilecek hale getirebilirsiniz. Metin ekleme nesnesini ( ) kullanarak (“delta =” + delta) ve (“y =” + f) metinlerini giriniz. Aşağıdaki gibi değişen bir metin alanı elde edeceksiniz.

Bu tarz oluşturulan metinlere dinamik metin adı verilmektedir. Tırnak işareti içine yazdığınız kısım statik metin ve + işaretinden sonra ayırdığınız kısım ise cebirsel olarak temsil eden değişkenin adı yazılarak elde edilen dinamik metindir. Not: Dinamik metinlerin anlamlı olması için çoğu durumda öğrenci ile birlikte üretilmesini öneriyoruz.

4.3 İletki ile açı ölçmenin görselleştirilmesi 
GeoGebra’nın arayüzüne bilgisayarınıza kayıtlı bir resmi ekleyerek üzerinde çeşitli etkinlikler geliştirebilirsiniz. Bu durumu örneklendirmek için iletki ile açı ölçme işleminin sanal bir modelini oluşturacağız. 
• Araç çubuğundaki resim ekleme aracını kullanarak (aşağıda gösterilmiştir) bilgisayarınıza önceden yüklediğiniz iletki resmini GeoGebra’nın çizim alanına ekleyiniz.

• Eklediğiniz resmin istem dışı yer değiştirmesini önlemek için resmi sağ  tuş  ile seçerek açılan menüden “nesneyi sabitle” seçeneğini seçiniz. 
• Ölçmek istediğimiz açının sağlıklı ölçülmesi için iletkinin tam ortasını belirlemeliyiz. Bunu sağlamak için iletkinin tabanı üzerine bir AB doğru parçası yerleştirin ve bu doğru parçasının orta noktasını belirleyin.
 o Doğru parçası için araç çubuğundan aracını seçtikten sonra tam simetrik olarak iletkinin taban noktalarını sırayla seçmeniz yeterlidir. 
o Bu doğru parçasının orta noktası için de aracını seçtikten sonra doğruyu tıklayınız.

Orta noktaya GeoGebra bir isim verecektir. Siz daha sonra bu ismi değiştirebilirsiniz.
 • Şimdi bir açı oluşturmamız gerekiyor. Açının köşesi M noktası olacak  şekilde ölçmeye B noktasından ya da A noktasından başlayabilirsiniz. 
o Açıyı oluşturduktan sonra kontrol edebilmek için 0o ile 180o arasında değişebilen bir sürgü oluşturalım. Sürgünün adı a olsun. o “ verilen ölçüde açı” inşa etme aracına tıkladığınızda GeoGebra sizden ayak noktası ve açının köşe noktasını seçmenizi isteyecek. Önce B noktasını sonra M noktasını seçtiğinizde açı belirlemeniz gereken bir pencere açılacak. Eğer sabit bir değer girerseniz açıyı değiştiremezsiniz. Daha önce oluşturduğunuz sürgünün adını “a” yazın 
o Aşağıdaki şekli elde edeceksiniz.

o Sürgüyü kaydırdığınızda değişen açıyı gözlemleyebilirsiniz.
 • Uygulamayı daha fazla geri bildirim sunan hale getirmek için öneriler:
 o MB’ doğru parçasını oluşturun
 o Uygulama BMB’ açısını göstermektedir. İletkinin diğer tersten kullanımını da görselleştirmek için AMB’ açısını da oluşturabilirsiniz.
 o Açıyı kontrol eden sürgünün genişliğini de AB doğru parçası kadar ayarlayabilirsiniz.

Metin ekleme aracını kullanarak ikişer adet “Dik açı”, “Dar Açı” ve “Geniş  Açı” metinleri oluşturun.   
o AMB’ açısına GeoGebra’nın ne isim verdiğine dikkat edin. Bu uygulamada β adı verilmiştir.

 o “Dar Açı” metinlerinden birinin özellikler diyalog penceresini açın ve gelişmiş sekmesindeki “Nesneyi Gösterme Şartı” kutusuna β

Bu sayede bu metnin sadece AMB’ açısı 90o ’den küçükken gösterilmesini sağlamış olacaksınız.
 o “Dik Açı” ve “Geniş Açı” metinlerinden birer tanesini de AMB’ açısı ile ilişkilendirip bu açının bulunduğu bölgeye 3 metni üst üste yerleştirin. o Aynı işlemi BMB’ açısı için de uygulayın